Potenzen: wiederholte Multiplikation
Eine Potenz ist eine Kurzschreibweise für wiederholte Multiplikation. 2⁵ bedeutet 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Die untere Zahl heißt Basis, die hochgestellte Zahl Exponent oder Hochzahl. Im Online-Taschenrechner geben Sie Potenzen mit der Taste x^y oder dem Zeichen ^ auf der Tastatur ein: 2^5 ergibt 32.
Quadrat und Kubik
Die häufigsten Potenzen haben eigene Tasten. x² bildet das Quadrat, x³ die dritte Potenz. Quadratzahlen brauchen Sie bei Flächen: Ein quadratischer Raum mit 4,5 Metern Seitenlänge hat 4,5² = 20,25 Quadratmeter. Die dritte Potenz steckt in Volumen: Ein Würfel mit 30 Zentimetern Kantenlänge fasst 30³ = 27.000 Kubikzentimeter, also 27 Liter. Für komplexere Formen helfen der Flächenrechner und der Volumenrechner.
Negative und gebrochene Exponenten
Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert: 2^(−3) = 1 ÷ 2³ = 0,125. Die Taste 1/x macht nichts anderes, als die Potenz −1 anzuhängen. Ein gebrochener Exponent steht für eine Wurzel: 9^(1/2) ist die Quadratwurzel aus 9, also 3, und 8^(1/3) ist die dritte Wurzel aus 8, also 2. Jede Potenz mit dem Exponenten 0 ergibt 1, zum Beispiel 7^0 = 1.
Wurzeln ziehen
Die Quadratwurzel ist die Umkehrung des Quadrats: √81 = 9, weil 9² = 81. Tippen Sie auf √ und dann die Zahl; die Klammer schließt der Rechner bei Bedarf automatisch. Für die dritte Wurzel gibt es die Taste ∛: ∛27 = 3. Beliebige n-te Wurzeln berechnen Sie über den gebrochenen Exponenten. Die fünfte Wurzel aus 32 ist 32^(1/5) = 2.
Ein praktisches Beispiel ist der Satz des Pythagoras. Ein Fernseher mit 1,20 Metern Breite und 0,68 Metern Höhe hat eine Diagonale von √(1,2² + 0,68²) = 1,38 Metern. Auch Abstände zwischen zwei Punkten oder die Länge einer Treppe berechnen Sie so.
Wurzeln aus negativen Zahlen
Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert, denn kein Quadrat ist negativ. √(−4) führt deshalb zu einer Fehlermeldung. Anders bei ungeraden Wurzeln: ∛(−8) = −2, weil (−2)³ = −8. Der Rechner berücksichtigt das auch bei der Schreibweise (−8)^(1/3).
Rechenregeln für Potenzen
Potenzen werden vor Punkt- und Strichrechnung ausgeführt. 3 × 2² ist 3 × 4 = 12, nicht 6² = 36. Mehrere Potenzen hintereinander werden von rechts nach links berechnet: 2^3^2 = 2^9 = 512. Und das Minuszeichen vor einer Zahl bindet schwächer als die Potenz: −3² = −9, aber (−3)² = 9.
Nützlich sind außerdem die Potenzgesetze. Bei gleicher Basis werden Exponenten bei Multiplikation addiert: 2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128. Bei Division werden sie subtrahiert: 10⁶ ÷ 10² = 10⁴. Eine Potenz einer Potenz ergibt ein Produkt der Exponenten: (5²)³ = 5⁶ = 15.625.
Große Zahlen und wissenschaftliche Schreibweise
Potenzen wachsen schnell. 2^64 ist bereits eine Zahl mit 20 Stellen. Sehr große Ergebnisse zeigt der Rechner deshalb in wissenschaftlicher Schreibweise an: 1,84467440737 × 10^19. Mit dieser Darstellung können Sie direkt weiterrechnen. Übersteigt ein Ergebnis den darstellbaren Bereich, erscheint der Hinweis „Zahl zu groß“.
Potenzen im Alltag: Wachstum und Zinseszins
Überall dort, wo etwas prozentual wächst, stecken Potenzen. 10.000 Euro bei 4 % Zins über 15 Jahre ergeben 10.000 × 1,04^15 = 18.009,44 Euro. Die Inflation wirkt umgekehrt: Bei 2 % Teuerung pro Jahr hat ein Euro nach 20 Jahren nur noch 1 ÷ 1,02^20 = 0,67 Euro Kaufkraft. Ausführliche Tabellen erstellen der Zinseszinsrechner und der Inflationsrechner.