Ein Kreis hat vier Größen, nach denen fast immer gefragt wird: Radius, Durchmesser, Umfang und Fläche. Das Praktische daran: Sobald Sie eine davon kennen, lassen sich alle anderen ausrechnen. Dieser Leitartikel zeigt die Formeln, den Rechenweg für jeden Fall und typische Beispiele aus Küche, Garten und Werkstatt. Danach geht es um die zusammengesetzten Formen Kreisring, Kreisausschnitt und Kreisabschnitt – und um die Fehler, die beim Kreisrechnen am häufigsten passieren.
Die Begriffe am Kreis
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem Mittelpunkt M denselben Abstand haben. Dieser Abstand ist der Radius. Alle weiteren Begriffe bauen darauf auf:
- Radius r: Strecke vom Mittelpunkt bis zum Rand.
- Durchmesser d: Strecke von Rand zu Rand durch den Mittelpunkt, also doppelt so lang wie der Radius.
- Umfang U: Länge der Kreislinie, einmal ringsherum.
- Fläche A: die Fläche, die die Kreislinie umschließt.
- Sehne s: gerade Verbindung zweier Punkte auf der Kreislinie. Der Durchmesser ist die längste Sehne.
- Bogen b: das Stück der Kreislinie zwischen zwei Punkten.
- Mittelpunktswinkel α: der Winkel, den zwei Radien am Mittelpunkt einschließen.
Die Grundformeln
Alle Kreisformeln beruhen auf der Kreiszahl π (gesprochen „pi“), die etwa 3,14159 beträgt. Sie gibt an, wie oft der Durchmesser in den Umfang passt – bei jedem Kreis gleich. Daraus folgen die beiden Formeln, die Sie sich merken sollten:
Der Umfang wächst also linear mit dem Radius, die Fläche dagegen quadratisch. Verdoppeln Sie den Radius, verdoppelt sich der Umfang, die Fläche aber vervierfacht sich. Mehr dazu im Beitrag Kreisfläche berechnen.
Aus einem Wert alle anderen berechnen
Der sicherste Weg führt immer über den Radius: Rechnen Sie zuerst r aus und setzen Sie ihn dann in die Grundformeln ein. Die folgende Tabelle zeigt, wie Sie aus jeder bekannten Größe auf den Radius kommen:
| Bekannt | Radius | Beispiel |
|---|---|---|
| Durchmesser d | r = d ÷ 2 | d = 30 cm → r = 15 cm |
| Umfang U | r = U ÷ (2 × π) | U = 157 cm → r = 24,99 cm |
| Fläche A | r = √(A ÷ π) | A = 4 m² → r = 1,128 m |
Beispiel 1: Radius gegeben
Ein Kreis hat den Radius r = 5 cm. Der Durchmesser ist d = 2 × 5 = 10 cm. Der Umfang beträgt U = 2 × π × 5 = 31,42 cm, die Fläche A = π × 5² = π × 25 = 78,54 cm².
Beispiel 2: Durchmesser gegeben
Ein runder Esstisch hat 1,20 m Durchmesser. Der Radius ist 0,60 m. Für die Tischdecke interessiert der Umfang: U = π × 1,20 = 3,77 m. Die Tischfläche beträgt A = π × 0,60² = 1,131 m². Als Faustregel können Sie für die Fläche auch d² × 0,785 rechnen, denn π ÷ 4 ≈ 0,785.
Beispiel 3: Umfang gegeben
Den Durchmesser eines Baumstamms kann man schlecht direkt messen, den Umfang dagegen leicht mit einem Maßband. Bei 157 cm Umfang ergibt sich:
Der Durchmesser beträgt also knapp 50 cm, die Querschnittsfläche π × 24,99² = 1.961,5 cm². Wer die Fläche direkt aus dem Umfang braucht, nimmt die Formel:
Mehr zu dieser Richtung lesen Sie im Beitrag Kreisumfang berechnen.
Beispiel 4: Fläche gegeben
Ein rundes Beet soll genau 4 m² groß werden. Wie groß muss der Radius sein? Teilen Sie die Fläche durch π und ziehen Sie die Wurzel:
Der Durchmesser beträgt 2,257 m, für die Beeteinfassung brauchen Sie U = 2 × π × 1,128 = 7,09 m.
Häufige Durchmesser auf einen Blick
| Durchmesser | Umfang | Fläche | Typisch für |
|---|---|---|---|
| 10 cm | 31,42 cm | 78,54 cm² | Untersetzer |
| 20 cm | 62,83 cm | 314,16 cm² | kleine Pizza, Teller |
| 26 cm | 81,68 cm | 530,93 cm² | Springform |
| 30 cm | 94,25 cm | 706,86 cm² | große Pizza |
| 50 cm | 157,08 cm | 1.963,50 cm² | Baumstamm, Kübel |
| 100 cm | 314,16 cm | 7.853,98 cm² | Tisch, Planschbecken |
Der Kreisring
Ein Kreisring ist die Fläche zwischen zwei Kreisen mit gemeinsamem Mittelpunkt – etwa der Querschnitt eines Rohrs, eine Unterlegscheibe oder ein Weg rund um ein Beet. Die Fläche ist die große Kreisfläche minus die Fläche des Lochs:
Dabei ist R der Außenradius und r der Innenradius. Die Ringbreite ist R − r. Beispiel: Ein Rohr hat 110 mm Außendurchmesser und 3,2 mm Wandstärke. Dann ist R = 55 mm und r = 51,8 mm:
So viel Material steckt in jedem Millimeter Rohrlänge. Ein häufiger Fehler ist, die Ringbreite einfach mit dem Außenumfang zu multiplizieren. Das ergibt zu viel. Richtig ist der mittlere Umfang: π × (R + r) × (R − r) liefert genau dasselbe Ergebnis wie die Formel oben.
Der Kreisausschnitt
Ein Kreisausschnitt, auch Sektor genannt, wird von zwei Radien und dem Bogen dazwischen begrenzt – wie ein Tortenstück. Er ist einfach ein Bruchteil des ganzen Kreises, nämlich α ÷ 360°:
Beispiel: Eine Torte aus der 26-cm-Springform wird in 12 gleiche Stücke geteilt. Jedes Stück hat den Winkel 360° ÷ 12 = 30° und den Radius 13 cm. Die Bogenlänge am Rand beträgt 2 × π × 13 ÷ 12 = 6,81 cm, die Fläche π × 13² ÷ 12 = 44,24 cm². Wie Sie Winkel ins Bogenmaß umrechnen und was ein Radiant ist, erklärt der Beitrag Kreisausschnitt, Bogenlänge und Bogenmaß.
Der Kreisabschnitt
Ein Kreisabschnitt, auch Segment genannt, wird von einer Sehne und dem Bogen begrenzt. Das ist die Form eines Rundbogens über einer Tür oder eines flachen Gewölbes. Seine Fläche erhalten Sie, wenn Sie vom Kreisausschnitt das Dreieck aus den beiden Radien und der Sehne abziehen:
Hier steht für den Winkel im Bogenmaß. Sehne s und Bogenhöhe h (der „Stich“) hängen so mit Radius und Winkel zusammen:
In der Praxis kennt man oft nur Spannweite und Stich, also Sehne und Höhe. Den Radius erhalten Sie dann mit:
Beispiel: Ein Rundbogen hat 1,20 m Spannweite und 0,30 m Stich. Der Radius beträgt 1,44 ÷ 2,4 + 0,15 = 0,75 m. Der Mittelpunktswinkel ergibt sich zu 106,26°, das sind 1,8546 im Bogenmaß. Damit beträgt die Fläche des Bogenfelds 0,75² ÷ 2 × (1,8546 − 0,96) = 0,2516 m², die Bogenlänge 0,75 × 1,8546 = 1,39 m. Im Kreisrechner wählen Sie dafür „Kreisabschnitt“ und „Sehne + Höhe“.
Einheiten richtig umrechnen
Längen und Flächen werden unterschiedlich umgerechnet. Bei Längen gilt der einfache Faktor: 1 m = 100 cm. Bei Flächen wird der Faktor quadriert: 1 m² = 100 × 100 cm² = 10.000 cm². Wer eine Kreisfläche von 7.853,98 cm² in Quadratmeter umrechnen will, teilt also durch 10.000 und erhält 0,785 m², nicht 78,5 m².
| Flächeneinheit | in m² |
|---|---|
| 1 mm² | 0,000001 m² |
| 1 cm² | 0,0001 m² |
| 1 dm² | 0,01 m² |
| 1 a (Ar) | 100 m² |
| 1 ha (Hektar) | 10.000 m² |
| 1 km² | 1.000.000 m² |
Die häufigsten Fehler
- Radius und Durchmesser verwechselt: Wer in A = π × r² den Durchmesser einsetzt, erhält die vierfache Fläche.
- Quadrat vergessen: π × r ist kein Flächeninhalt. Erst π × r × r ergibt die Fläche.
- Flächen linear umgerechnet: cm² in m² geht mit dem Faktor 10.000, nicht 100.
- π zu früh gerundet: Wer schon im ersten Schritt mit 3,14 rechnet und danach weiterrechnet, schleppt den Fehler mit. Runden Sie erst das Endergebnis.
- Grad und Bogenmaß gemischt: Der Taschenrechner muss für sin α auf Grad (DEG) stehen, wenn α in Grad angegeben ist. In der Formel für den Kreisabschnitt steht vor dem Sinus dagegen der Winkel im Bogenmaß.
Fazit
Für jeden Kreis reicht eine bekannte Größe: Daraus ergibt sich der Radius, und mit ihm alle anderen Werte. Kreisring, Kreisausschnitt und Kreisabschnitt sind nur Kombinationen derselben Formeln. Wenn Sie den Rechenweg nicht selbst gehen möchten, nimmt Ihnen der Kreisrechner die Arbeit ab – mit Skizze, Lösungsweg und frei wählbarer Zahl an Nachkommastellen.