Ein Tortenstück, eine Pizzaecke, die Fläche, die ein Scheibenwischer überstreicht, oder ein Rasensprenger, der nur einen Viertelkreis bewässert: All das sind Kreisausschnitte. Dieser Beitrag zeigt, wie Sie Fläche und Bogenlänge berechnen, was das Bogenmaß ist und wie sich der Kreisausschnitt vom Kreisabschnitt unterscheidet.
Was ist ein Kreisausschnitt?
Ein Kreisausschnitt (Sektor) wird von zwei Radien und dem Kreisbogen dazwischen begrenzt. Seine Spitze liegt im Mittelpunkt. Die Größe des Ausschnitts bestimmt der Mittelpunktswinkel α: Bei 90° ist es ein Viertelkreis, bei 180° ein Halbkreis.
Die Formeln mit Winkel in Grad
Weil der Ausschnitt den Anteil α ÷ 360° des ganzen Kreises ausmacht, nehmen Sie einfach diesen Anteil von Umfang und Fläche:
Beispiel Pizza: Eine Pizza mit 30 cm Durchmesser wird in 8 Stücke geschnitten. Jedes Stück hat α = 45° und r = 15 cm. Der Rand eines Stücks ist 2 × π × 15 ÷ 8 = 11,78 cm lang, die Fläche beträgt π × 225 ÷ 8 = 88,36 cm².
Beispiel Torte: Bei 12 Stücken aus der 26-cm-Springform hat jedes Stück 30° und r = 13 cm. Das ergibt 6,81 cm Rand und 44,24 cm² Fläche.
Beispiel Garten: Ein Kreisregner in der Rasenecke ist auf einen Viertelkreis mit 8 m Reichweite eingestellt. Er bewässert π × 64 ÷ 4 = 50,27 m².
Das Bogenmaß
Statt in Grad kann man Winkel auch als Länge messen: Das Bogenmaß gibt an, wie lang der Bogen auf einem Kreis mit Radius 1 ist. Ein voller Kreis hat den Umfang 2π, also entsprechen 360° genau 2π. Umgerechnet wird so:
| Grad | Bogenmaß exakt | Bogenmaß dezimal |
|---|---|---|
| 30° | π/6 | 0,5236 |
| 45° | π/4 | 0,7854 |
| 60° | π/3 | 1,0472 |
| 90° | π/2 | 1,5708 |
| 180° | π | 3,1416 |
| 360° | 2π | 6,2832 |
Ein Winkel von 1 im Bogenmaß (1 Radiant, kurz rad) entspricht 180° ÷ π = 57,30°. Bei diesem Winkel ist der Bogen genau so lang wie der Radius.
Die Formeln im Bogenmaß
Im Bogenmaß werden die Formeln besonders einfach, weil der Faktor 2π ÷ 360° wegfällt:
Die letzte Form ist praktisch: Kennen Sie Bogenlänge und Radius, brauchen Sie den Winkel gar nicht. Die Fläche ist dann wie bei einem Dreieck „halbe Grundseite mal Höhe“, nur dass die Grundseite gebogen ist.
Kreisausschnitt oder Kreisabschnitt?
Die Namen klingen fast gleich, die Formen sind verschieden. Der Kreisausschnitt reicht bis zum Mittelpunkt (Tortenstück). Der Kreisabschnitt (Segment) wird dagegen von einer Sehne abgeschnitten (Rundbogen). Seine Fläche ist der Ausschnitt minus das Dreieck, das die beiden Radien mit der Sehne bilden:
Beispiel: r = 10 cm, α = 60°. Der Ausschnitt hat 52,36 cm², das Dreieck 100 ÷ 2 × sin 60° = 43,30 cm². Der Abschnitt ist also nur 9,06 cm² groß.
Anwendung: Kreisdiagramme
Auch jedes Torten- oder Kreisdiagramm besteht aus Kreisausschnitten. Der Winkel eines Anteils ist Prozent × 3,6°: 25 % entsprechen 90°, 10 % entsprechen 36°. Die Fläche des Stücks ist dann genau dieser Prozentsatz der Kreisfläche.
Im Kreisrechner wählen Sie „Kreisausschnitt“, geben Radius und Winkel ein und erhalten Bogenlänge, Fläche, Sehne und Winkel im Bogenmaß samt Skizze. Alle Formeln rund um den Kreis finden Sie im Leitartikel Kreis berechnen.