Ohne π gibt es keine Kreisberechnung. Die Zahl steckt in jeder Formel für Umfang, Fläche, Kugel und Zylinder. Doch was bedeutet sie genau, woher kennt man ihren Wert – und wie viele Nachkommastellen braucht man wirklich?
Was π bedeutet
π ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises:
Das Besondere: Dieses Verhältnis ist für jeden Kreis gleich, ob Münze, Wagenrad oder Erdäquator. Legen Sie eine Schnur einmal um eine Dose und messen Sie sie, ist sie gut dreimal so lang wie der Durchmesser der Dose. Genau 3,14159… mal.
Die Geschichte der Kreiszahl
Schon vor rund 4.000 Jahren rechneten Babylonier mit 3 1/8 = 3,125 und Ägypter mit etwa 3,16. Archimedes von Syrakus ging um 250 v. Chr. systematisch vor: Er zeichnete in einen Kreis und um einen Kreis Vielecke mit bis zu 96 Ecken. Der Kreisumfang muss zwischen den beiden Vieleck-Umfängen liegen. So fand er:
Das entspricht 3,1408 bis 3,1429. Daher stammt die Näherung 22/7. Der chinesische Mathematiker Zu Chongzhi fand im 5. Jahrhundert den Bruch 355/113, der auf sechs Nachkommastellen stimmt. Um 1600 berechnete Ludolph van Ceulen 35 Nachkommastellen; im Deutschen hieß π deshalb lange „Ludolphsche Zahl“. Heute kennen Computer Billionen von Stellen.
π ist irrational und transzendent
1761 bewies Johann Heinrich Lambert, dass π irrational ist: Es lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben, die Nachkommastellen enden nie und wiederholen sich nicht. 1882 zeigte Ferdinand von Lindemann sogar, dass π transzendent ist, also keine Lösung einer algebraischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten. Damit war ein über 2.000 Jahre altes Problem gelöst: Die „Quadratur des Kreises“, also mit Zirkel und Lineal ein Quadrat gleicher Fläche zu konstruieren, ist unmöglich.
Wie genau muss man rechnen?
Für die meisten Aufgaben genügen wenige Stellen. Entscheidend ist der relative Fehler, denn er überträgt sich direkt auf Umfang und Fläche:
| Näherung | Wert | Abweichung | Fehler bei r = 1 m (Fläche) |
|---|---|---|---|
| 3 | 3,0000000 | −4,51 % | −1.416 cm² |
| 3,14 | 3,1400000 | −0,051 % | −15,9 cm² |
| 22/7 | 3,1428571 | +0,040 % | +12,6 cm² |
| 3,1416 | 3,1416000 | +0,0002 % | +0,07 cm² |
| 355/113 | 3,1415929 | +0,00001 % | +0,003 cm² |
Mit 3,14 liegen Sie also um gut ein halbes Promille daneben. Für Schulaufgaben, Gartenplanung und Handwerk ist das fast immer genug. Für Maschinenbau und Vermessung rechnet man mit dem vollen Wert, den Taschenrechner und Tabellenkalkulation ohnehin bereitstellen. Selbst für die Navigation von Raumsonden durchs Sonnensystem reichen etwa 15 Nachkommastellen – so viele, wie ein Computer mit gewöhnlicher Gleitkommazahl speichert und wie auch der Kreisrechner intern nutzt.
Wann runden?
Runden Sie π und alle Zwischenergebnisse möglichst spät. Wer zuerst den Radius auf zwei Stellen rundet, dann mit 3,14 multipliziert und anschließend quadriert, sammelt mehrere kleine Fehler. Rechnen Sie mit der π-Taste des Taschenrechners und runden Sie nur das Endergebnis auf die gewünschte Genauigkeit.
Eselsbrücke für die ersten Stellen
Eine klassische deutsche Merkhilfe zählt die Buchstaben der Wörter: „Wie, o dies π macht ernstlich so vielen viele Müh!“ Die Wortlängen 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3 ergeben 3,141592653. Der 14. März wird übrigens als „Pi-Tag“ gefeiert, weil er in amerikanischer Schreibweise 3/14 lautet. Seit 2020 ist er zugleich offiziell der Internationale Tag der Mathematik.
π in anderen Formeln
π taucht überall auf, wo Kreise oder Drehungen im Spiel sind: im Volumen eines Zylinders (π × r² × h), in der Kugeloberfläche (4 × π × r²), im Bogenmaß (180° = π) und sogar in der Statistik bei der Normalverteilung. Wie man mit π im Bogenmaß rechnet, zeigt der Beitrag Kreisausschnitt und Bogenmaß.