Kreisfläche berechnen: Formel, Herleitung & Beispiele

Die Kreisfläche: Grundformel und Herleitung

Die Formel für die Kreisfläche ist eine der bekanntesten in der Mathematik:

Der Radius $r$ ist der Abstand vom Mittelpunkt zum Rand des Kreises. Die Kreiszahl $\pi \approx 3{,}14159$ ist das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser.

Die Herleitung der Kreisfläche lässt sich anschaulich über die Zerlegung des Kreises in unendlich viele dünne Dreiecke verstehen: Jedes Dreieck hat die Höhe $r$ und die Grundseite ist ein winziges Stück des Umfangs. Die Summe aller Grundseiten ergibt den Umfang $2\pi r$. Die Gesamtfläche ist also:

Radius, Durchmesser und Umfang

Der Durchmesser $d$ ist doppelt so groß wie der Radius: $d = 2r$. Kennt man nur den Durchmesser, berechnet man die Fläche als:

Der Kreisumfang $U$ beträgt (rechts umgestellt nach dem Radius, wenn nur der Umfang bekannt ist):

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Kreisförmiger Pool mit 3 m Radius. Fläche = π × 3² = 28,27 m². Umfang = 2 × π × 3 = 18,85 m. Für eine Abdeckplane benötigen Sie also mindestens 28,3 m² Material.

Beispiel 2: Runder Tisch mit 1,2 m Durchmesser. Radius = 0,6 m. Fläche = π × 0,6² = 1,13 m². Für eine Tischdecke mit 20 cm Überhang brauchen Sie einen Kreis mit r = 0,8 m, also 2,01 m².

Beispiel 3: Pizza mit 30 cm Durchmesser. Radius = 15 cm. Fläche = π × 15² = 706,86 cm². Eine 40-cm-Pizza hat dagegen π × 20² = 1.256,64 cm², also fast 78 % mehr Fläche, obwohl der Durchmesser nur 33 % größer ist.

Kreisfläche im Alltag

Kreisförmige Flächen begegnen uns überall: runde Tische, Brunnen, Pools, Satellitenschüsseln, Pizzen, Tortenböden, Rohrleitungsquerschnitte. In der Technik ist der Kreisquerschnitt besonders wichtig für die Berechnung von Durchflussmengen in Rohren und Kanälen.

Kreissegment und Kreissektor

Manchmal braucht man nicht die volle Kreisfläche, sondern nur einen Teil. Ein Kreissektor (Tortenstück) mit Winkel $\alpha$ hat die Fläche:

Ein Halbkreis ($\alpha = 180^\circ$) hat also die halbe Kreisfläche.