Die Kreisflaeche: Grundformel und Herleitung
Die Formel fuer die Kreisflaeche A = Pi x r2 ist eine der bekanntesten in der Mathematik. Der Radius r ist der Abstand vom Mittelpunkt zum Rand des Kreises. Pi (ca. 3,14159) ist das Verhaeltnis von Kreisumfang zu Durchmesser.
Die Herleitung der Kreisflaeche laesst sich anschaulich ueber die Zerlegung des Kreises in unendlich viele duenne Dreiecke verstehen: Jedes Dreieck hat die Hoehe r und die Grundseite ist ein winziges Stueck des Umfangs. Die Summe aller Grundseiten ergibt den Umfang 2 x Pi x r. Die Gesamtflaeche ist also (2 x Pi x r x r) / 2 = Pi x r2.
Radius, Durchmesser und Umfang
Der Durchmesser d ist doppelt so gross wie der Radius: d = 2r. Kennt man nur den Durchmesser, berechnet man die Flaeche als: A = Pi x (d/2)2 = Pi x d2/4.
Der Kreisumfang betraegt U = 2 x Pi x r = Pi x d. Aus dem Umfang laesst sich der Radius berechnen: r = U / (2 x Pi).
Rechenbeispiele
Beispiel 1: Kreisfoermiger Pool mit 3 m Radius. Flaeche = Pi x 32 = 28,27 m2. Umfang = 2 x Pi x 3 = 18,85 m. Fuer eine Abdeckplane benoetigen Sie also mindestens 28,3 m2 Material.
Beispiel 2: Runder Tisch mit 1,2 m Durchmesser. Radius = 0,6 m. Flaeche = Pi x 0,62 = 1,13 m2. Fuer eine Tischdecke mit 20 cm Ueberhang brauchen Sie einen Kreis mit r = 0,8 m, also 2,01 m2.
Beispiel 3: Pizza mit 30 cm Durchmesser. Radius = 15 cm. Flaeche = Pi x 152 = 706,86 cm2. Eine 40-cm-Pizza hat dagegen Pi x 202 = 1.256,64 cm2, also fast 78 % mehr Flaeche obwohl der Durchmesser nur 33 % groesser ist.
Kreisflaeche im Alltag
Kreisfoermige Flaechen begegnen uns ueberall: runde Tische, Brunnen, Pools, Satellitenschuesseln, Pizzen, Tortenboeden, Rohrleitungsquerschnitte. In der Technik ist der Kreisquerschnitt besonders wichtig fuer die Berechnung von Durchflussmengen in Rohren und Kanaelen.
Kreissegment und Kreissektor
Manchmal braucht man nicht die volle Kreisflaeche, sondern nur einen Teil. Ein Kreissektor (Tortenstueck) mit Winkel Alpha hat die Flaeche A = (Alpha/360) x Pi x r2. Ein Halbkreis (Alpha = 180 Grad) hat also die halbe Kreisflaeche.