Der Satz des Pythagoras: a² + b² = c²
Kaum eine Formel ist so bekannt und so nützlich wie der Satz des Pythagoras. Er gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck und verbindet die drei Seiten miteinander: Die Summe der Quadrate über den beiden Katheten ist gleich dem Quadrat über der Hypotenuse.
Die Katheten a und b sind die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden. Die Hypotenuse c liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist immer die längste Seite. Im Volumenrechner finden Sie unter „Pythagoras“ einen Dreiecksrechner, der aus zwei bekannten Größen alle Seiten und Winkel berechnet.
Beispiel 1: Hypotenuse berechnen
Gegeben sind a = 3 cm und b = 4 cm. Dann gilt c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, also c = √25 = 5 cm. Dieses 3-4-5-Dreieck ist das bekannteste Beispiel, weil alle Seiten ganzzahlig sind. Weitere solche Tripel sind 5-12-13, 8-15-17 und alle Vielfachen, etwa 6-8-10.
Beispiel 2: Kathete berechnen
Eine 5 m lange Leiter lehnt an einer Hauswand. Ihr Fuß steht 1,5 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie? Die Leiter ist die Hypotenuse, der Abstand eine Kathete. Umgestellt gilt a = √(c² − b²) = √(25 − 2,25) = √22,75 ≈ 4,77 m. Beim Umstellen wird aus dem Plus ein Minus — und die Hypotenuse muss immer länger sein als die Kathete, sonst gibt es keine Lösung.
Beispiel 3: Diagonale von Bildschirm oder Raum
Die Bildschirmdiagonale ist die Hypotenuse aus Breite und Höhe. Ein Monitor mit 60 cm Breite und 34 cm Höhe hat eine Diagonale von √(60² + 34²) = √4.756 ≈ 69 cm, also etwa 27 Zoll. Dasselbe Prinzip funktioniert in drei Dimensionen: Die Raumdiagonale eines Quaders ist d = √(l² + b² + h²). So prüfen Sie, ob eine lange Stange noch in einen Transporter passt.
Beispiel 4: Rechten Winkel abstecken
Handwerker nutzen die 3-4-5-Regel, um auf der Baustelle einen exakten rechten Winkel zu markieren: 3 m auf der einen Seite, 4 m auf der anderen abmessen — beträgt die Diagonale genau 5 m, ist die Ecke rechtwinklig. Bei größeren Flächen verwenden Sie Vielfache, etwa 6-8-10 m.
Winkel berechnen mit Sinus, Kosinus und Tangens
Pythagoras liefert die Seiten, die Trigonometrie die Winkel. Für den Winkel α, der der Kathete a gegenüberliegt, gilt:
1. sin(α) = a ÷ c
2. cos(α) = b ÷ c
3. tan(α) = a ÷ b
Beim 3-4-5-Dreieck ist tan(α) = 3 ÷ 4 = 0,75, also α ≈ 36,87°. Der zweite spitze Winkel ergibt sich aus der Winkelsumme: β = 90° − 36,87° = 53,13°. Umgekehrt können Sie aus einer Seite und einem Winkel die übrigen Seiten bestimmen, zum Beispiel a = c · sin(α).
Pythagoras in Körpern
Auch bei der Volumen- und Oberflächenberechnung taucht der Satz ständig auf: Die Mantellinie eines Kegels ist s = √(r² + h²), die Seitenhöhe einer Pyramide hₛ = √(h² + (a/2)²). Einen Überblick über alle Körperformeln gibt der Ratgeber Volumen berechnen: Alle Formeln.
Fazit
Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck, dort aber immer. Merken Sie sich: Die Hypotenuse steht allein auf einer Seite der Gleichung, und sie ist die längste Seite. Mit Sinus, Kosinus und Tangens kommen die Winkel hinzu. Zum Nachrechnen genügen zwei bekannte Größen im Dreiecksrechner.